2R robotkar – szögköltség-optimalizálás
Geometriai lefedettség és optimális szögfelosztás
Geometriai hatékonyság
A relatív lefedettség:
$$
\rho(\theta_1,\theta_2)
=
\frac{1}{4\pi}
\theta_1(1-\cos\theta_2).
$$
A szögmozgás költségét
$$
C(\theta_1,\theta_2)
=
\theta_1+\theta_2
$$
alakban definiálva a geometriai hatékonyság:
$$
E(\theta_1,\theta_2)
=
\frac{1}{4\pi}
\frac{\theta_1(1-\cos\theta_2)}
{\theta_1+\theta_2}.
$$
Teljes szögkeret
B = 180°
$\theta_1+\theta_2=B$
Hatékonysági hőtérkép
A szín az
E(θ₁, θ₂)
geometriai hatékonyság értékét mutatja.
A fehér szaggatott vonal az adott
θ₁ + θ₂ = B
szögkeretet jelöli.
Optimalitási feltétel
Rögzített
\(B\) szögkeret mellett
$$
\theta_1=B-\theta_2,
$$
ezért a maximalizálandó terület a
$$
A(\theta_2)
=
L_1L_2
(B-\theta_2)
(1-\cos\theta_2)
$$
alakot veszi fel.
A belső optimumra teljesül:
$$
\boxed{
B-\theta_2
=
\tan\left(
\frac{\theta_2}{2}
\right)
}
$$
A hőtérképen megjelölt optimális pont numerikusan
ennek az optimalitási feltételnek megfelelő megoldást
közelíti.